问题 1

Linearity in the first argument: $⟨a\mathbf{u}+b\mathbf{w},\mathbf{v}⟩=a⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩+b⟨\mathbf{w},\mathbf{v}⟩.$

如何理解这句话，用中文回答

这句话表达的是内积（或称为点积）对第一个变量的线性性（linearity in the first argument）。我们可以一步一步理解它的意思：

1️⃣ 符号解释

• $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$：表示向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的内积。
• $a,b$：是标量（实数或复数）。
• $\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v}$：是向量。

2️⃣ 这句话的意思

$$⟨a\mathbf{u}+b\mathbf{w},\mathbf{v}⟩=a⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩+b⟨\mathbf{w},\mathbf{v}⟩$$

这表示：

如果你在内积的第一个位置里，对向量做了线性组合（即 $a\mathbf{u}+b\mathbf{w}$）， 那么内积的结果等于把内积分别对每个分量计算再线性组合起来。

也就是说，内积对第一个参数是线性的映射。

3️⃣ 举个例子（实数空间）

假设我们在 ${\mathbb{R}}^2$ 里： $$\mathbf{u}=(1,2),\mathbf{w}=(3,1),\mathbf{v}=(2,-1)$$ 内积定义为： $$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2$$

取 $a=2,b=-1$，我们来验证：

左边： $$⟨2\mathbf{u}-\mathbf{w},\mathbf{v}⟩=⟨(2,4)-(3,1),(2,-1)⟩=⟨(-1,3),(2,-1)⟩=(-1)(2)+(3)(-1)=-5$$

右边： $$2⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩-⟨\mathbf{w},\mathbf{v}⟩=2[(1)(2)+(2)(-1)]-[(3)(2)+(1)(-1)]=2(0)-(6-1)=-5$$

左右相等 ✅，说明性质成立。

4️⃣ 概念总结

“内积对第一个变量线性”意味着：

• 可以把第一个参数当作一个“输入变量”，内积运算对它是线性的。
• 直观理解：你可以把标量和加法从内积里“提出来”。

🧠 一句话总结：

“线性性”意味着内积对第一个参数的加法与数乘运算是兼容的。 换句话说，内积符号对第一个向量的操作就像普通线性函数那样“分配”和“提常数”。

问题 2

Orthogonal projection explains the method of least squares. To solve an overdetermined system $A\mathbf{x}\approx \mathbf{b}$, we seek the $\mathbf{x}$ that makes $A\mathbf{x}$ the projection of $\mathbf{b}$ onto the column space of $A$. This gives the normal equations

正交投影解释了最小二乘法。为了解决超定问题 系统 $A\mathbf{x}\approx \mathbf{b}$ ，我们寻找 $\mathbf{x}$ ，使得 $A\mathbf{x}$ 成为 $\mathbf{b}$ 在 $A$ 的列空间上的投影。这给出了正则方程

$$A^{T}A\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}.$$

Thus, least squares is just projection in disguise.

因此，最小二乘法只是伪装的投影。

你问得非常好——这是线性代数里最值得深刻理解的一段话之一。 我们一步一步来拆解这段话，让你彻底明白为什么“最小二乘法”其实就是“正交投影”的几何版本。

🧱 一、从方程说起：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

假设我们要解线性方程组： $$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

• $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵；
• $\mathbf{x}$ 是一个 $n\times 1$ 向量（未知量）；
• $\mathbf{b}$ 是一个 $m\times 1$ 向量（已知量）。

🚧 二、为什么“过定方程组”不一定有解？

如果 $m>n$，也就是方程个数比未知数多（overdetermined）， 那么通常不存在精确的解使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 成立。

举个例子： $$\{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$$ 显然矛盾。没有真正的交点。

这时我们就会想：

“那我能不能找一个 ‘差不多对’ 的 $\mathbf{x}$， 使得 $A\mathbf{x}$ 尽量接近 $\mathbf{b}$ 呢？”

这就是 最小二乘法（least squares） 的出发点。

🎯 三、最小二乘法在做什么？

我们要找的是： $$\underset{\mathbf{x}}{\min }|A\mathbf{x}-\mathbf{b}{|}^2$$ 即：

让 $A\mathbf{x}$ 尽量靠近 $\mathbf{b}$。

🪞 四、几何视角：$\mathbf{b}$ 投影到 $A$ 的列空间

• $A\mathbf{x}$ 一定落在 $A$ 的列空间 中；
• 但 $\mathbf{b}$ 不一定在这个空间里。

于是几何上我们可以想象：

我们把 $\mathbf{b}$ 投影到 $A$ 的列空间上，得到一个“影子” $\hat{\mathbf{b}}$。

这个影子就是某个 $A\mathbf{x}$。

也就是说： $$\hat{\mathbf{b}}=A\mathbf{x}\ast \text{LS}$$ 其中 $\mathbf{x}\ast \text{LS}$ 是最小二乘解（least squares solution）。

⚖️ 五、投影条件 → 正交条件 → 正规方程

投影的定义是什么？

“误差向量”必须与目标子空间正交。

也就是： $$\mathbf{b}-A{\mathbf{x}}_{\text{LS}}\perp \text{Col}(A)$$

数学上，这意味着： $$A^T(\mathbf{b}-A{\mathbf{x}}_{\text{LS}})=0$$

整理一下： $$A^{T}A{\mathbf{x}}_{\text{LS}}=A^T\mathbf{b}$$

这就是所谓的 “正规方程（normal equations）”。 它就是通过“投影条件”推导出来的。

💡 六、再回头看那句话

“To solve an overdetermined system $A\mathbf{x}\approx \mathbf{b}$, we seek the $\mathbf{x}$ that makes $A\mathbf{x}$ the projection of $\mathbf{b}$ onto the column space of $A$.”

意思是：

• 我们不能保证 $\mathbf{b}$ 在列空间里；
• 所以找个 $\mathbf{x}$，让 $A\mathbf{x}$ 成为 $\mathbf{b}$ 在列空间的正交投影；
• 这个 $\mathbf{x}$ 就是最小二乘解；
• 因为它让误差 $|A\mathbf{x}-\mathbf{b}|$ 最小。

于是： $$\boxed{\text{Least squares = orthogonal projection onto Col(A)}}$$

🧠 七、你提到的疑问澄清

“b往A的列空间投影干啥呀，解方程不是找映射到零空间的子空间里的向量么？”

这两件事其实是互补的两种视角：

• 求方程解：是在 $\mathbf{x}$-空间中找，使 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
• 最小二乘：是在 $\mathbf{b}$-空间中看，使 $A\mathbf{x}$ 尽量靠近 $\mathbf{b}$。

几何上，$A$ 把 $\mathbf{x}$-空间映射到 $\mathbf{b}$-空间的某个子空间（列空间）。 如果 $\mathbf{b}$ 不在那里面，只能“垂直地投影”到那条子空间上。

✨ 八、一张图总结（想象）

R^m 空间
     ↑
     |
     |      • b（原始数据）
     |     /
     |    /
     |   /
     |  /   ⟂
     | /____• A x_LS（投影点）
     |
     +------→  A 的列空间 (Col(A))

$\mathbf{b}-A{\mathbf{x}}_{LS}$ 垂直于列空间， 所以得到了正规方程。

✅ 一句话总结

最小二乘法其实不是“解不动的方程乱凑”， 而是把“解方程”改成“做正交投影”。 你在求一个 $A\mathbf{x}$，让它成为 $\mathbf{b}$ 在 $A$ 的列空间上的最接近点。 所以“最小二乘” = “投影在伪解空间的影子”。

问题 3

详细解释下 五、投影条件 → 正交条件 → 正规方程

好 — 我来把那一步 “投影条件 → 正交条件 → 正规方程” 做成一个清晰、逐步且互相补充的证明／解释，包括几何直观、代数推导和微分（最小化）推导，并补充若干重要结论（唯一性、投影矩阵、奇异情形）。尽量详尽但不啰嗦。

一、问题设定（回顾）

我们要解 $$\underset{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n}{\min };|A\mathbf{x}-\mathbf{b}{|}^2,$$ 其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m$。记列空间 $\mathcal{C}=\mathrm{Col}(A)$。任何 $A\mathbf{x}$ 都在 $\mathcal{C}$ 中。

目标是找出使误差向量 $\mathbf{r}(\mathbf{x})=\mathbf{b}-A\mathbf{x}$ 的长度平方最小的 $\mathbf{x}$。

二、几何/正交投影直观（投影条件）

投影的定义： 如果把 $\mathbf{b}$ 投影到子空间 $\mathcal{C}$ 上，投影点记为 $\hat{\mathbf{b}}\in \mathcal{C}$，投影的性质是： $$\mathbf{b}=\hat{\mathbf{b}}+\mathbf{r},\hat{\mathbf{b}}\in \mathcal{C},\mathbf{r}\perp \mathcal{C}.$$ 也就是说，投影点到原点的差（残差）与 $\mathcal{C}$ 中的任意向量正交。

把 $\hat{\mathbf{b}}=A\hat{\mathbf{x}}$（因为投影点在列空间，所以是某个 $A\mathbf{x}$）写出，则投影条件就是 $$\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}\perp \mathcal{C}.$$

三、正交条件写成代数等式

“对 $\mathcal{C}$ 中任意向量都正交”等价于：对 $\mathcal{C}$ 的任意生成向量（取 $A$ 的列向量）都正交。设 $A=[{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n]$。正交条件： $$(\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}})\cdot {\mathbf{a}}_j=0\text{对 }j=1,\dots ,n.$$ 把这些内积集合成向量形式，就是 $$A^T(\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}})=0.$$ 展开得 $$A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b},$$ 这正是正规方程。

直观：$A^T(\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}})=0$ 意味着残差与列空间中每一列都正交，因此与列空间正交。

四、从最小化问题出发的微分（代数微积分）证明

定义目标函数 [ f(\mathbf{x}) = |A\mathbf{x}-\mathbf{b}|^2 = (A\mathbf{x}-\mathbf{b})^T(A\mathbf{x}-\mathbf{b}). ] 展开并对 (\mathbf{x}) 求导（向量微分）： [ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A^T A \mathbf{x} - 2\mathbf{x}^T A^T\mathbf{b} + \mathbf{b}^T\mathbf{b}. ] 梯度是 [ \nabla f(\mathbf{x}) = 2A^T A \mathbf{x} - 2A^T\mathbf{b}. ] 把梯度设为零以求极小点： $$2A^{T}A\mathbf{x}-2A^T\mathbf{b}=0⟹A^{T}A\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}.$$ 这同样得到正规方程。并且因为 $f$ 是二次且半正定，解是最小化的解（只要 $A^{T}A$ 正定就是全局唯一最小化解）。

五、正交 ⇒ 最小 的严格解释（毕达哥拉斯分解）

设 $\hat{\mathbf{b}}=A\hat{\mathbf{x}}$ 满足 $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\hat{\mathbf{b}}\perp \mathcal{C}$。对任意 $\mathbf{y}\in \mathcal{C}$（记成 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$）有： $$|\mathbf{b}-\mathbf{y}{|}^2=|(\hat{\mathbf{b}}+\mathbf{r})-\mathbf{y}{|}^2=|(\hat{\mathbf{b}}-\mathbf{y})+\mathbf{r}{|}^2.$$ 由于 $\hat{\mathbf{b}}-\mathbf{y}\in \mathcal{C}$ 而 $\mathbf{r}\perp \mathcal{C}$，按毕达哥拉斯： $$|\mathbf{b}-\mathbf{y}{|}^2=|\hat{\mathbf{b}}-\mathbf{y}{|}^2+|\mathbf{r}{|}^2\ge |\mathbf{r}{|}^2.$$ 等号当且仅当 $\hat{\mathbf{b}}=\mathbf{y}$。因此 $\hat{\mathbf{b}}$ 是使 $|\mathbf{b}-\mathbf{y}|$ 最小的点，证明了正交条件给出的点是最小二乘解对应的 $A\mathbf{x}$。

六、正规方程的解与唯一性

• 如果 $A$ 的列线性无关（即 $A$ 的列满秩，$\mathrm{rank}(A)=n$），则 $A^{T}A$ 可逆，所以正规方程有唯一解： $$\hat{\mathbf{x}}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}.$$
• 如果 $A$ 的列不满秩，$A^{T}A$ 不可逆，则正规方程可能有无穷多个解（最小二乘解不是唯一的）。在这种情形下常用**广义逆（Moore–Penrose 伪逆）**给出最小范数解： $$\hat{\mathbf{x}}=A^{+}\mathbf{b}$$ 其中 $A^{+}$ 表示伪逆。

七、投影矩阵（把正规方程再包装一下）

若 $A^{T}A$ 可逆，则投影（从 $\mathbf{b}$ 到列空间得到的点）可以写为 $$\hat{\mathbf{b}}=A\hat{\mathbf{x}}=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}.$$ 定义投影矩阵 $$P=A(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T.$$ 它满足

• $P^2=P$（幂等），
• $P^T=P$（对称），
• 对任意 $\mathbf{b}$，$P\mathbf{b}$ 是 $\mathbf{b}$ 在 $\mathrm{Col}(A)$ 上的正交投影。

八、数值与算法的备注（实用角度）

• 直接解正规方程 $A^{T}A\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}$ 在数值上可能不稳定（因为平方条件数）。实际上在数值计算中更常用 QR 分解 或 SVD 来求最小二乘解，这些方法数值更稳健。
• 当 $A$ 列满秩时，QR 给出 $\hat{\mathbf{x}}=R^{-1}{Q}^T\mathbf{b}$；当不满秩时用 SVD 找伪逆得到最小范数解。

九、举个具体小例子（快速数值演示）

设 $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right).$$

列空间是由 ${\mathbf{a}}_1=(1,0,1{)}^T$ 与 ${\mathbf{a}}_2=(0,1,1{)}^T$ 张成的平面。正规方程：

$$A^{T}A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),A^T\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right).$$

解 $$\hat{\mathbf{x}}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$

对应投影点 $A\hat{\mathbf{x}}=(2,1,3{)}^T$。残差 $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}=(0,0,1{)}^T$，的确与列空间正交（你可以验证其与 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2$ 的内积为 0）。

十、总结（回顾逻辑链）

1. 最小二乘问题等价于在列空间中找一个点使距离 $|\mathbf{b}-A\mathbf{x}|$ 最小。
2. 几何上最接近点是正交投影，因此残差必须与列空间正交。
3. 将“与列空间正交”写成代数形式 $A^T(\mathbf{b}-A\mathbf{x})=0$，得到正规方程 $A^{T}A\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}$。
4. 由正规方程解出的 $\mathbf{x}$ 给出投影点 $A\mathbf{x}$，从而最小化了残差平方和。

如果你愿意，我可以用一个更详细的数值例子一步步代入计算，或演示用 QR / SVD 求解并比较数值稳定性。要不要我做一个小计算示范？

问题 3

Verify that $(1/\sqrt{2})(1,1)$ and $(1/\sqrt{2})(1,-1)$ form an orthonormal basis of ${\mathbb{R}}^2$.

验证 $(1/\sqrt{2})(1,1)$ 和 $(1/\sqrt{2})(1,-1)$ 是否构成 ${\mathbb{R}}^2$ 的正交基。

验证

设 $v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$，$v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$。

1. 正交性（内积为 0）： $$v_1\cdot v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=\frac{1}{2}(1\cdot 1+1\cdot (-1))=\frac{1}{2}(1-1)=0.$$ 因此 $v_1$ 与 $v_2$ 正交。

2. 范数为 1（单位向量）： $$|v_1|=\sqrt{v_1\cdot v_1}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+1)}=\sqrt{1}=1,$$ 同理 $|v_2|=1$。所以它们是标准正交（orthonormal）的。

3. 生成整个 ${\mathbb{R}}^2$（线性无关即为基）：

   两条正交且非零的向量在二维空间中必线性无关，因此构成基。也可看矩阵 $$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

   的行列式为 $\det A=\frac{1}{2}\det \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}(-2)=-1\ne 0$，因此可逆，从而列向量构成基。

结论： 这两向量互相正交且为单位向量，于是是 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个正交正则基（orthonormal basis）。

问题 4

Express $(3,4)$ in terms of the orthonormal basis $\{(1/\sqrt{2})(1,1),(1/\sqrt{2})(1,-1)\}$.

用正交基 $\{(1/\sqrt{2})(1,1),(1/\sqrt{2})(1,-1)\}$ 表示 $(3,4)$ 。

我们要求向量 $(3,4)$ 在正交基 $$v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$$ 下的坐标。

第一步：利用正交基的性质

若基是正交归一的，则任意向量 $x$ 可写为 $$x=(x\cdot v_1)v_1+(x\cdot v_2)v_2.$$ 所以我们只需要计算内积 $x\cdot v_1$ 和 $x\cdot v_2$。

第二步：计算内积

$$x\cdot v_1=(3,4)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(3+4)=\frac{7}{\sqrt{2}}.$$

$$x\cdot v_2=(3,4)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(3-4)=\frac{-1}{\sqrt{2}}.$$

第三步：写成该基下的表示

因此， $$(3,4)=\frac{7}{\sqrt{2}},v_1+\frac{-1}{\sqrt{2}},v_2.$$

或者写作坐标形式：

$$(3,4);\text{在基};v_1,v_2;\text{下的坐标为};\left(\frac{7}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}\right).$$

✅ 最终答案： $$(3,4)=\frac{7}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right),-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\right),\text{坐标为 }\left(\frac{7}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

问题 5

Find an orthonormal basis for the plane $x+y+z=0$ in ${\mathbb{R}}^3$.

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中找出平面 $x+y+z=0$ 的正交基。

我们要求出平面 $$x+y+z=0$$ 在 (\mathbb{R}^3) 中的一个正交基（orthogonal basis）。

第一步：确定平面的方向

平面的法向量是 $$n=(1,1,1).$$ 任何与 (n) 正交的向量都在平面 (x+y+z=0) 上。

因此我们要找两个 互相正交 且 与 (n) 正交 的向量。

第二步：找出两个线性无关的向量满足 (x+y+z=0)

常见简单选取： $$u_1=(1,-1,0),u_2=(1,1,-2).$$ 验证：

• (u_1\cdot n = 1 - 1 + 0 = 0)
• (u_2\cdot n = 1 + 1 - 2 = 0) 所以它们都在平面上。

第三步：使它们互相正交（施密特正交化）

对 (u_1, u_2) 使用 Gram–Schmidt 正交化。

1. (v_1 = u_1 = (1,-1,0))

2. 去掉 (u_2) 在 (v_1) 方向上的分量： $${\text{proj}}_{v_1}(u_2)=\frac{u_2\cdot v_1}{v_1\cdot v_1}{v}_1$$ 计算： $$u_2\cdot v_1=1\cdot 1+1\cdot (-1)+(-2)\cdot 0=0,$$ 所以 (u_2) 本身已与 (v_1) 正交！

   因此我们可直接取 (v_2 = u_2 = (1,1,-2))。

第四步：归一化（若要正交标准基）

计算长度： $$|v_1|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}=\sqrt{2},|v_2|=\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6}.$$

于是归一化： $$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).$$

✅ 结论：

平面 (x + y + z = 0) 的一个正交（且正交归一）基为 $$\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)}$$

它们互相正交，并且都在 (x+y+z=0) 上。