问题 1

向量通常以列的形式垂直书写，这强调了它们在矩阵乘法中的作用：

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^3.$$

The vertical layout makes the structure clearer when we consider linear combinations or multiply matrices by vectors.

当我们考虑线性组合或矩阵乘以向量时，垂直布局使结构更加清晰。

这是一个很好的问题！你正在看的是关于向量和矩阵的一个核心概念。让我帮你分解一下这段话。

理解核心概念

这段话主要解释了为什么向量通常写成列向量（垂直的）。虽然一个向量在数学上可以表示成一行或一列，但把它写成列向量形式，能更好地体现它在矩阵乘法中的作用。

让我们仔细看看这段话里的几个关键点：

1. “向量通常以列的形式垂直书写”:

   • 这就是说，向量会像你例子里那样，垂直地排列数字。这种表示形式叫做列向量。
   • 例如，$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right]$ 就是一个列向量。

2. “这强调了它们在矩阵乘法中的作用”:

   • 当一个矩阵乘以一个向量时，列向量的垂直形式让整个操作在视觉上更直观。
   • 矩阵乘法有一个规则：矩阵的列数必须等于向量的行数。
   • 当向量写成列向量时，它的行数（例如你例子中的3行）就很容易和矩阵的列数匹配上。

3. “当我们考虑线性组合或矩阵乘以向量时，垂直布局使结构更加清晰”:

   • 线性组合：这是矩阵乘法的基础。一个矩阵乘以一个向量，本质上是把矩阵的列向量进行线性组合。把向量写成列向量，就能清晰地看到组合的系数是如何对应到矩阵的每一列的。
   • 矩阵乘以向量：想象一个矩阵 $A$ 乘以向量 $\mathbf{v}$。如果 $\mathbf{v}$ 是一个列向量，那么矩阵 $A$ 的每一行和 $\mathbf{v}$ 的每一列（只有一列）进行点积运算。这个垂直的布局让这个操作看起来非常自然。

举个例子

让我们用一个简单的例子来看看列向量在矩阵乘法中是如何工作的。

假设我们有一个矩阵 $A$ 和一个向量 $\mathbf{v}$：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]$$

当我们计算 $A\mathbf{v}$ 时，我们用矩阵 $A$ 的每一行分别和向量 $\mathbf{v}$ 进行点积：

$$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(1)(5)+(2)(6)\\ (3)(5)+(4)(6)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5+12\\ 15+24\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}17\\ 39\end{array}\right]$$

你看，向量的垂直布局让这个乘法操作非常清晰。

问题 2