问题 1

Example 4.1.2. Polynomials The set of all polynomials with real coefficients, denoted $R [x]$ , forms a vector space. Addition and scalar multiplication are defined term by term.

例 4.1.2. 多项式所有实系数多项式的集合，记为 $R [x]$ ，构成一个向量空间。加法和标量乘法是逐项定义的。

$R [x]$ 是一种特殊表示法，它的含义是“所有实系数多项式的集合”。例如，像 $p (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ 和 $q (x) = \frac{1}{2} x^{3} + 5$ 这样的多项式都属于这个集合，因为它们的系数（3, 2, -1, 1/2, 5）都是实数。

加法和标量乘法定义

这段话特别强调了加法和标量乘法是“term by term”（逐项）定义的。这是理解多项式如何成为向量空间的关键：

加法：当你将两个多项式相加时，你需要将对应项的系数相加。例如： $(3 x^{2} + 2 x + 1) + (x^{2} + 5 x) = (3 + 1) x^{2} + (2 + 5) x + 1 = 4 x^{2} + 7 x + 1$

结果仍然是一个实系数多项式，所以它满足向量加法的要求。
标量乘法：当你用一个实数（标量）乘以一个多项式时，你需要将这个实数乘以多项式中的每一项的系数。例如，用标量 2 乘以多项式 $3 x^{2} + 2 x + 1$ ： $2 \cdot (3 x^{2} + 2 x + 1) = (2 \cdot 3) x^{2} + (2 \cdot 2) x + (2 \cdot 1) = 6 x^{2} + 4 x + 2$

结果仍然是一个实系数多项式，所以它满足标量乘法的要求。

问题 2

Example 4.1.3. Functions The set of all real-valued functions on an interval, e.g. $f : [0, 1] \to R$ , forms a vector space, since functions can be added and scaled pointwise.

例 4.1.3. 函数区间上的所有实值函数的集合，例如 $f : [0, 1] \to R$ ，形成一个向量空间，因为函数可以逐点添加和缩放。

这句话的意思是：函数本身也可以看成“向量”，因为在函数的集合里，加法和数乘依然可以像在 $R^{n}$ 中那样定义，并且满足向量空间的规则。

具体拆解：

对象是谁？ 这里的向量空间是所有定义在区间 $[0, 1]$ 上、取实数值的函数集合：

$V = {f ∣ f : [0, 1] \to R} .$
加法怎么定义？ 对于任意两个函数 $f, g \in V$ ，我们定义它们的和为一个新函数：

$(f + g) (x) = f (x) + g (x), \forall x \in [0, 1] .$

这叫做逐点加法，意思是对区间里的每个点 $x$ ，函数值相加。
数乘怎么定义？ 对于任意标量 $α \in R$ 和函数 $f \in V$ ，定义：

$(α f) (x) = α \cdot f (x), \forall x \in [0, 1] .$
为什么是向量空间？
- 有零函数 $0 (x) = 0$ ，它是“零向量”。
- 加法满足交换律和结合律。
- 数乘和加法满足分配律。
- 每个函数 $f$ 都有“相反函数” $- f$ 。所以完全符合向量空间的八条公理。

直观理解 你可以把函数看作是“无限维的向量”。

在 $R^{n}$ 里，一个向量是 $n$ 个实数的有序数组。
在函数空间里，一个函数相当于给区间 $[0, 1]$ 上的每个点 $x$ 分配一个值 $f (x)$ 。这就像是一个“无限长的坐标表”。

所以函数的集合就是一个向量空间，只不过它的维度通常是无限的。

问题 3

例 4.2.2. $R^{3}$ 中的 x-y 平面该集合

$W = {(x, y, 0) ∣ x, y \in R}$

is a subspace of $R^{3}$ . It is the collection of all vectors lying in the plane through the origin parallel to the x–y plane.

是 $R^{3}$ 的一个子空间。它是位于通过原点并平行于 x-y 平面的平面内的所有向量的集合。

1. 概念解析

$R^{3}$ ：代表一个三维空间，也就是我们平时所说的由x轴、y轴和z轴构成的空间。这个空间中的每个点或向量都可以用一个三个坐标的有序三元组 $(x, y, z)$ 来表示，其中 $x, y, z$ 都是实数。
子空间 (Subspace)：一个向量空间的子集，如果它本身也构成一个向量空间，那么就称之为原向量空间的子空间。要证明一个子集是子空间，通常需要验证三个条件：
1. 零向量必须包含在子集中。
2. 加法封闭：子集内任意两个向量相加，结果仍然在这个子集内。
3. 标量乘法封闭：子集内任意一个向量乘以任意一个标量（实数），结果仍然在这个子集内。
集合 $W$ ： $W = {(x, y, 0) ∣ x, y \in R}$ 这个集合 $W$ 包含了所有第三个坐标（z坐标）为0的向量。这意味着这些向量的终点都在一个特定的平面上。
“the plane through the origin parallel to the x–y plane”：
- “x–y plane”：这是指由x轴和y轴构成的平面，它的方程是 $z = 0$ 。
- “parallel to the x–y plane”：表示与x-y平面平行。
- “through the origin”：表示穿过原点 $(0, 0, 0)$ 。

2. 核心理解

这段话是在说：集合 $W$ 实际上就是三维空间 $R^{3}$ 中的x-y平面。这个x-y平面是一个子空间。

我们可以通过验证子空间的三个条件来确认这一点：

零向量：集合 $W$ 包含零向量 $(0, 0, 0)$ 吗？是的，当 $x = 0, y = 0$ 时，我们得到向量 $(0, 0, 0)$ ，它在 $W$ 中。
加法封闭：我们取 $W$ 中的两个任意向量 $u = (x_{1}, y_{1}, 0)$ 和 $v = (x_{2}, y_{2}, 0)$ 。它们的和是： $u + v = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, 0 + 0) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, 0)$ 结果向量的z坐标仍然是0，所以它也在 $W$ 中。
标量乘法封闭：我们取 $W$ 中的一个任意向量 $u = (x, y, 0)$ 和一个任意实数 $c$ 。它们的标量乘法是： $c \cdot u = c \cdot (x, y, 0) = (c x, cy, c \cdot 0) = (c x, cy, 0)$ 结果向量的z坐标仍然是0，所以它也在 $W$ 中。

因为 $W$ 满足这三个条件，所以它是一个子空间。

3. 直观理解

将 $W$ 视为一个几何对象，它就是三维空间 $R^{3}$ 中的一个平面。这个平面穿过原点，并且完全躺在x轴和y轴所在的平面上。这个平面包含了x轴和y轴上的所有向量。

可以的。为了更形象地展示，我们可以用Python的matplotlib库来绘制三维空间中的x-y平面。

下面是一个Python代码示例，它将绘制一个三维坐标系，并在其中用一个半透明的平面来表示x-y平面，也就是我们讨论的子空间 $W$ 。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 创建一个3D图形
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 定义x-y平面的网格
x_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
y_vals = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x_vals, y_vals)
Z = 0 * X + 0 * Y  # z坐标始终为0

# 绘制x-y平面
ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.5, color='lightblue', label='x-y plane')

# 绘制坐标轴
ax.quiver(0, 0, 0, 5, 0, 0, color='red', arrow_length_ratio=0.1, label='x-axis')
ax.quiver(0, 0, 0, 0, 5, 0, color='green', arrow_length_ratio=0.1, label='y-axis')
ax.quiver(0, 0, 0, 0, 0, 5, color='blue', arrow_length_ratio=0.1, label='z-axis')

# 添加标签和标题
ax.set_xlabel('X axis')
ax.set_ylabel('Y axis')
ax.set_zlabel('Z axis')
ax.set_title('The x-y plane as a subspace in R^3')

# 添加一个位于平面上的向量，以表示集合中的元素
ax.quiver(0, 0, 0, 3, 4, 0, color='purple', arrow_length_ratio=0.1, label='A vector in W')
ax.text(3, 4, 0.5, '(3, 4, 0)', color='purple')

# 设置图例
ax.legend()

# 显示图形
plt.show()

代码解析与效果

运行这段代码后，你会看到一个三维坐标系。

浅蓝色平面：这个平面就是x-y平面，它代表了我们讨论的子空间 $W = (x, y, 0) mi d x, y in ma t hbb R$ 。它的特点是所有点的 z坐标都为0。
红色、绿色、蓝色箭头：分别代表 x轴、y轴和z轴，它们构成了整个三维空间 $ma t hbb R^{3}$ 。
紫色箭头：这是一个从原点出发，指向点 $(3, 4, 0)$ 的向量。你可以清楚地看到，这个向量完全位于浅蓝色的平面上，这形象地说明了 $W$ 中的所有向量都躺在这个平面里。

通过这张图，你可以直观地理解，子空间 $W$ 并不是整个三维空间，它只是三维空间中一个特殊的、穿过原点的“扁平”部分。它本身是一个二维空间（因为它由x和y两个自由度决定），但它被“嵌入”到了一个三维空间中。

问题 4

Example 4.2.3. Null space of a matrix For a matrix $A \in R^{m \times n}$ , the null space

例 4.2.3. 矩阵的零空间对于矩阵 $A \in R^{m \times n}$ ，零空间

${x \in R^{n} ∣ A x = 0}$

is a subspace of $R^{n}$ . This subspace represents all solutions to the homogeneous > system.

是 $R^{n}$ 的一个子空间。该子空间表示齐次系统的所有解。

1. 概念理解：什么是零空间？

对于一个矩阵 $A$ ，它的零空间（null space），记作 $null (A)$ ，是所有满足方程 $A x = 0$ 的向量 $x$ 的集合。

这里的 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵。
$x$ 是一个 $n$ 维向量。
$0$ 是一个 $m$ 维零向量。

简单来说，零空间就是矩阵 $A$ 将哪些向量“压缩”到了原点。你可以把矩阵 $A$ 看作一个线性变换，它把 $n$ 维空间中的向量 $x$ 映射到 $m$ 维空间中。零空间就是那些在变换后，其终点正好落在 $m$ 维空间原点的所有向量的集合。

重要的是，零空间是一个子空间。这意味着它本身是一个“小”的向量空间，包含原点，并且对加法和标量乘法封闭。例如，如果两个向量都属于零空间，那么它们的和也属于零空间；如果一个向量属于零空间，那么它乘以任何一个常数也还在零空间里。

2. 演示和可视化

我们来考虑一个具体的例子。设矩阵 $A$ 为：

$A = (1212)$

这是一个 $2 \times 2$ 的矩阵，它将二维平面 $R^{2}$ 中的向量映射到二维平面 $R^{2}$ 中。

我们来解 $A x = 0$ ，也就是：

$(1212) (x_{1} x_{2}) = (00)$

这对应一个方程组： ${x_{1} + x_{2} = 0 2 x_{1} + 2 x_{2} = 0$ 这两个方程是等价的，都简化为 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，即 $x_{2} = - x_{1}$ 。所有满足这个条件的向量 $x = (x_{1} x_{2})$ 都属于零空间。我们可以表示为 $x = (x_{1} - x_{1}) = x_{1} (1 - 1)$ 。这意味着零空间是由向量 $(1 - 1)$ 张成的一条直线。

下面我们用代码来可视化这个过程。我们将绘制出几个向量在矩阵 $A$ 作用前后的变化，以此来展示哪些向量被“压缩”到了原点。

Python代码

我们将使用 numpy 和 matplotlib 来绘制这个过程。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义矩阵 A
A = np.array([[1, 1],
              [2, 2]])

# 定义零空间中的一个向量 (满足 x2 = -x1)
# 这是一个在 y = -x 这条直线上的向量
x_in_null_space = np.array([2, -2])

# 定义一个不在零空间中的向量
x_not_in_null_space = np.array([1, 2])

# 计算这两个向量经过矩阵 A 变换后的结果
Ax_in_null_space = A @ x_in_null_space
Ax_not_in_null_space = A @ x_not_in_null_space

# --- 可视化 ---
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 6))

# 子图1：原始向量
ax1.set_title('Original Vectors in R^2')
ax1.set_xlim(-3, 3)
ax1.set_ylim(-3, 3)
ax1.grid(True)
ax1.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax1.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax1.set_aspect('equal', adjustable='box')

# 绘制零空间
x_vals = np.linspace(-3, 3, 10)
ax1.plot(x_vals, -x_vals, linestyle='--', color='gray', label='Null Space (y = -x)')

# 绘制零空间向量
ax1.quiver(0, 0, x_in_null_space[0], x_in_null_space[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='A vector in Null Space')
ax1.text(x_in_null_space[0], x_in_null_space[1], '  (2, -2)', color='red')

# 绘制非零空间向量
ax1.quiver(0, 0, x_not_in_null_space[0], x_not_in_null_space[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='A vector NOT in Null Space')
ax1.text(x_not_in_null_space[0], x_not_in_null_space[1], '  (1, 2)', color='blue')

ax1.legend()

# 子图2：变换后的向量
ax2.set_title('Vectors After Transformation by Matrix A')
ax2.set_xlim(-1, 6)
ax2.set_ylim(-1, 6)
ax2.grid(True)
ax2.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax2.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax2.set_aspect('equal', adjustable='box')

# 绘制变换后的零空间向量（它被映射到原点）
ax2.quiver(0, 0, Ax_in_null_space[0], Ax_in_null_space[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Transformed Null Space Vector')
ax2.text(Ax_in_null_space[0], Ax_in_null_space[1], '  (0, 0)', color='red')

# 绘制变换后的非零空间向量
ax2.quiver(0, 0, Ax_not_in_null_space[0], Ax_not_in_null_space[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Transformed Non-Null Space Vector')
ax2.text(Ax_not_in_null_space[0], Ax_not_in_null_space[1], '  (3, 6)', color='blue')

ax2.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

图像解析

运行上述代码，你将得到两张并排的图。

左图：显示了变换前的向量。
- 灰色虚线：代表了矩阵 $A$ 的零空间，也就是 $y = - x$ 这条直线。
- 红色箭头：是一个在零空间内的向量，它位于灰色虚线上。
- 蓝色箭头：是一个不在零空间内的向量。
右图：显示了这些向量经过矩阵 $A$ 变换后的结果。
- 红色箭头：它被“压缩”到了原点 $(0, 0)$ 。这直观地展示了零空间中的向量在变换后都会变成零向量。
- 蓝色箭头：它被映射到了一个新的位置 $(3, 6)$ 。这说明不在零空间中的向量不会被压缩到原点。

这个例子清晰地展示了零空间的本质：它是所有被矩阵变换“消灭”到原点的向量所构成的子集，而这个子集本身也形成了一个子空间（在这个例子中是一条直线）。

问题 5

Subspaces capture the essential structure of linear problems. Column spaces, row spaces, and null spaces are all subspaces. Much of linear algebra consists of understanding how these subspaces intersect, span, and complement each other.

子空间捕捉了线性问题的本质结构。列空间、行空间和零空间都是子空间。线性代数的大部分内容都在于理解这些子空间如何相互交叉、延伸和互补。

列空间（Column Space），记作 $Col (A)$ ：
- 是什么？ 矩阵 $A$ 的列向量所能张成的所有向量的集合。
- 意义？ 它代表了方程 $A x = b$ 所有可能的解，即所有可以被 $A$ 变换“到达”的向量 $b$ 的集合。换句话说，它是矩阵 $A$ 线性变换的值域。
行空间（Row Space），记作 $Row (A)$ ：
- 是什么？ 矩阵 $A$ 的行向量所能张成的所有向量的集合。
- 意义？ 它位于输入空间 $R^{n}$ 中，与列空间有着紧密的关系。一个关键的定理是：行空间的维度（秩）等于列空间的维度。
零空间（Null Space），记作 $Null (A)$ ：
- 是什么？ 所有满足 $A x = 0$ 的向量 $x$ 的集合。
- 意义？ 它代表了齐次方程组 $A x = 0$ 的所有解。这些向量在经过矩阵 $A$ 的变换后，都被压缩到了原点。

3. 交、张、补：理解子空间的关系

这段话的最后一句是精髓：线性代数的核心，就在于理解这几个子空间如何相互作用。

交集 (Intersect)：两个子空间的交集包含同时属于这两个子空间的所有向量。一个最核心的结论是：矩阵的零空间与它的行空间是相互正交的。它们的交集只有零向量。这在几何上意味着，零空间中的任何向量都垂直于行空间中的任何向量。
张成 (Span)：一个子空间可以由一组基向量张成。例如，列空间就是由矩阵 $A$ 的列向量（或其简化形式）张成的。
互补 (Complement)：在向量空间中，我们通常谈论正交补。一个向量空间可以分解为两个相互正交的子空间的直和。例如，输入空间 $R^{n}$ 可以被分解为行空间和零空间的直和。这意味着 $R^{n}$ 中的任何向量 $x$ 都可以唯一地表示为行空间中的一个向量 $x_{r}$ 和零空间中的一个向量 $x_{n}$ 之和，即 $x = x_{r} + x_{n}$ 。

总结：这些子空间就像是线性方程组的“DNA”。通过分析这些子空间，我们可以深入理解方程组的性质、解的存在性和唯一性，以及解的几何结构。这使得我们能够用强大的几何直觉来解决复杂的代数问题。

问题 6

The span is always a subspace of $V$ , namely the smallest subspace containing those vectors.

张成始终是 $V$ 的子空间，即包含这些向量的最小子空间。

这是一个非常好的问题，它触及了“张成”概念的核心。

要理解为什么它是“最小”的，我们首先要弄清楚这里“最小”的含义：它不是指体积最小，而是指不包含任何多余向量。它是所有包含这组向量的子空间中，最“瘦身”的那一个。

用一个简单的例子来理解

想象你在三维空间 $R^{3}$ 中有两个不共线的向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 。

子空间的规则： 一个集合要成为子空间，必须满足两条重要的规则：
- 对标量乘法封闭： 如果集合中有一个向量，那么它的所有倍数都必须在这个集合里。
- 对向量加法封闭： 如果集合中有两个向量，那么它们的和也必须在这个集合里。
张成（Span）的过程：
- 你从 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 开始。
- 为了满足规则，你必须把 $v_{1}$ 的所有倍数（ $c_{1} v_{1}$ ）都包含进来，这形成了一条穿过原点的直线。
- 同样，你必须把 $v_{2}$ 的所有倍数（ $c_{2} v_{2}$ ）都包含进来，这又形成了另一条穿过原点的直线。
- 现在，为了满足加法规则，你必须把这两条直线上任意两个向量的和（ $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}$ ）也包含进来。所有这些和向量构成的集合，正是一个穿过原点的平面。
为什么这个平面是“最小”的？
- 这个平面就是 $Span (v_{1}, v_{2})$ 。
- 现在，假设有一个更大的子空间 $W$ 也包含了 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 。
- 因为 $W$ 是一个子空间，它必须遵守上述两条规则。这意味着，如果 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 在 $W$ 中，那么它们的任何线性组合 $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}$ 也必须在 $W$ 中。
- 但是，所有这些线性组合正好构成了张成空间。所以， $W$ 必须包含整个张成空间。

这就是核心逻辑：张成空间包含了所有“被迫”必须包含的向量，因为它是由子空间规则直接推导出来的最小集合。任何其他包含原始向量的子空间，都必须遵守同样的规则，因此也必须包含张成空间。

所以，张成空间就像是容纳这组向量的“最小容器”，它不多不少，恰好是满足子空间要求所必需的集合。

就是说v1,v2是三维空间上从原点出发的两条线，完了两条线能确定一个平面，这个平面就是这两条线张成的空间？

是的，你的理解非常准确。

用更精确的数学语言来描述：

你的向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 是从三维空间原点出发的两条不共线的线。
这两条线可以确定一个唯一的平面，这个平面也穿过原点。
这个平面就是由 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ **张成（span）**的子空间。

这个平面包含了所有向量 $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}$ 的集合，其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意实数。这个二维的平面，就是三维空间中的一个子空间。

就是这俩v1,v2能张成一个子空间，它也只能张成这一个子空间，这一个平面，确定的，唯一的，再张成就张成三维空间，四维空间了，所以这个平面是最小的子空间，对吗？

对，你的理解非常正确。

用一个更精炼的总结来概括你的思考：

确定性：对于给定的两个不共线向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ ，它们唯一确定了一个穿过原点的平面。这个平面就是它们的张成空间。
不可再张大：你不能仅仅用这两个向量的线性组合来张成三维空间或更高维度的空间。因为所有这些线性组合的结果，都将始终位于你所确定的那个平面上。
最小性：这个平面是所有包含 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 的子空间中最小的那一个。任何其他包含它们的子空间（例如整个 $R^{3}$ ）都将必然包含这个平面。

所以，你完全抓住了核心：张成空间就是由这组向量“合法地”生成的所有向量的集合，不多也不少，因此它就是最小的。

问题 7

Example 4.3.1. In $R^{2}$ , $span (1, 0) = {(x, 0) ∣ x \in R},$ the x-axis. Similarly, $span {(1, 0), (0, 1)} = R^{2} .$

例 4.3.1。在 $R^{2}$ 中， $span (1, 0) = {(x, 0) ∣ x \in R},$ x 轴。同样， $span {(1, 0), (0, 1)} = R^{2} .$

张成（Span）

这段话的意思是：在二维空间 $R^{2}$ 中，向量 $(1, 0)$ 的张成就是由所有形如 $(x, 0)$ 的向量组成的集合，也就是x轴。

1. 概念分解

$R^{2}$ ：二维空间，一个平面。
向量 $(1, 0)$ ：一个从原点 $(0, 0)$ 出发，指向点 $(1, 0)$ 的向量。
$span (1, 0)$ ：这是由向量 $(1, 0)$ 张成的所有向量的集合。根据张成的定义，它包含了这个向量的所有可能的标量乘积。
${(x, 0) ∣ x \in R}$ ：这是一个数学集合表示法。它表示所有形如 $(x, 0)$ 的向量，其中 $x$ 可以是任意实数。

2. 核心理解

这段话的核心是将抽象的“张成”概念与具体的几何图形联系起来。

从代数上看： $span (1, 0)$ 的所有向量都可以表示为 $c \cdot (1, 0)$ ，其中 $c$ 是任意实数。
- 当 $c = 1$ 时，我们得到 $(1, 0)$ 。
- 当 $c = 2$ 时，我们得到 $(2, 0)$ 。
- 当 $c = - 3$ 时，我们得到 $(- 3, 0)$ 。
- 当 $c = 0$ 时，我们得到 $(0, 0)$ ，也就是原点。
从几何上看：所有这些向量的终点都在x轴上。因为它们的第二个坐标（y坐标）始终是0，而第一个坐标可以取任意实数值。因此，由这些点构成的图形就是一条贯穿原点的直线——x轴。

所以，这段话是说，向量 $(1, 0)$ 的所有倍数所构成的集合，在几何上就是x轴这条直线。这条直线是 $R^{2}$ 的一个子空间。

问题 8

解释线性独立，不共线，和垂直的区别和联系。

这三个概念都是用来描述向量之间关系的，但它们分别从不同的角度来定义这种关系。我们可以把它们理解成一个由弱到强的层级：垂直是不共线的一个特例，而不共线又是线性独立的一个特例。

1. 线性独立 (Linear Independence)

这是最基础、最普遍的代数概念。它适用于任意数量的向量。

定义：一组向量 ${v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}}$ 是线性独立的，意味着唯一能让它们的线性组合等于零向量的解是所有系数都为零，即 $c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k} = 0$ 仅当 $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{k} = 0$ 时成立。
几何意义：这组向量中，没有任何一个向量可以由其他向量的线性组合得到。它们没有“冗余”。

举例：在 $R^{3}$ 中，三个位于同一个平面上的向量是线性相关的，因为其中一个向量可以由另外两个向量的组合得到。如果这三个向量不共面，那么它们就是线性独立的。

2. 不共线 (Non-collinearity)

这是一个几何概念，仅适用于两个向量。它是不共面概念在二维上的简化。

定义：两个向量 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 是不共线的，意味着它们不位于同一条直线上（除非它们是零向量）。
联系：对于两个非零向量来说，不共线和线性独立是等价的。如果两个向量线性独立，它们必然不共线；如果它们不共线，它们也必然线性独立。
区别：这是一个仅限于两个向量的术语。你不能说“三个向量不共线”，但可以讨论它们是否线性独立。

3. 垂直 (Orthogonality)

这是一个更强的几何概念，它意味着两个向量形成 90 度的夹角。

定义：两个向量 $u$ 和 $v$ 是垂直的，当且仅当它们的点积为零，即 $u \cdot v = 0$ 。
联系：如果两个非零向量是垂直的，那么它们必然是线性独立的（因此也必然是不共线的）。因为如果它们是垂直的，它们不可能位于同一条直线上。
区别：线性独立只是说向量不重叠或不冗余，而垂直则是一个更严格的几何条件。两个向量可以线性独立，但并不垂直。例如，在二维平面上，向量 $(1, 0)$ 和 $(1, 1)$ 是线性独立的（它们不共线），但它们并不垂直，它们的夹角是45度。

总结表格

特征	线性独立 (Linear Independence)	不共线 (Non-collinearity)	垂直 (Orthogonality)
适用对象	任意数量的向量 ( $k \geq 1$ )	仅适用于两个向量	仅适用于两个向量
几何意义	向量集不冗余，不共面等	两个向量不在同一直线上	两个向量夹角为 90 度
关系	最普遍的代数概念	线性独立的特例（限于两个向量）	线性独立的更强特例（满足点积为零）

问题 9

线性代数里垂直和正交是同一个意思吗？

在绝大多数线性代数的语境中，垂直和正交是同一个意思，它们可以互换使用。

“正交”（Orthogonal）是一个更专业的数学术语，而“垂直”（Perpendicular）是更直观的几何术语。当涉及到向量时，这两个词都表示向量之间的夹角是 90 度。

为什么用两个词？

几何直觉 vs. 代数推广：
- 垂直听起来更像我们在初高中几何里学的概念，比如“两条直线垂直”。它通常与我们直观的三维或二维空间联系在一起。
- 正交是对“垂直”概念的代数推广。它依赖于内积（或点积）这个运算。当两个向量的内积为零时，我们就说它们是正交的。
适用范围：
- 正交这个词更常用于描述更抽象和高维的情况，比如在 $n$ 维向量空间或函数空间中。在这种情况下，“垂直”这个词可能就不那么直观了，但内积为零这个代数条件依然适用。
更广的数学语境：
- 正交这个词也用于描述其他数学对象，比如正交矩阵、正交基等。这些概念都基于向量两两正交的性质。

简单来说，当你在线性代数中看到“正交”和“垂直”时，你可以把它们看作是同一个意思，都指向量的点积为零。但“正交”这个词更通用、更专业，也更常用于更抽象的数学环境中。

问题 10

Show that $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(1, 1, 0)$ span the $x y$ -plane in $R^{3}$ . Are they a basis?

证明 $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(1, 1, 0)$ 在 $R^{3}$ 中跨越 $x y$ -平面。它们是基吗？